Hace unos días desayunábamos juntos mi hijo y yo, cada uno concentrado en su tazón. Aún no estábamos despiertos del todo, o eso pensaba yo hasta que afirmó con total rotundidad:- Papá, he llegado a la conclusión de que no puedo beberme toda la leche.
- ¿Te refieres a que no quieres beber más leche, a que estás lleno y no puedes más?
- No, me refiero a que es físicamente imposible que llegue a completar el proceso de ingestión de la leche contenida en la taza, llamémosla 'L', ya que para ello primero tendría que beberme la mitad de L (L/2), luego la mitad de lo que quedara (L/4), a continuación la mitad del resto (L/8) y así sucesivamente en un proceso infinito para una cantidad infinita de leche, que por definición no tiene fin. O expresado de otro modo:
L/2 + L/4 + L/8 + L/16 + … = ¡Leche sin fin!
Vaya con el niño. No esperaba tener que abordar esta conversación con él tan pronto, pero no había más remedio:
- Hijo, es cierto que el proceso que mencionas consiste en la agregación de una cantidad infinita de cantidades, pero no es cierto que dicha suma produzca un resultado infinito. Fíjate que cada término de la suma es igual al anterior multiplicado por ½ , lo que se conoce como progresión geométrica de razón ½ . Aplicando tan solo un poco de álgebra podemos comprobar que el resultado de una suma de tales características toma un valor igual al primer término de la progresión dividido por uno menos la razón. Aplicando dicho resultado al caso que nos ocupa tenemos que:
- Es decir, que la suma de las infinitas cantidades da como resultado la cantidad de leche contenida inicialmente en la taza, como era de esperar. ¿Te convences ahora de que sí puedes beberte toda la leche?
Con expresión dubitativa, guardó silencio durante unos segundos. Parecía que iba a asumir finalmente que era posible beberse toda la leche, pero yo sabía del error que contenía mi argumentación. Mis temores se confirmaron:
- ¡Eh, un momento! Aunque la cantidad de leche no sea infinita, sí lo es el número de pasos necesarios para bebérmela. ¡Para acabármela necesitaría toda la eternidad!
- Ya, pero es que no has modelado el proceso con la herramienta correcta. Por lo general, beber leche no consiste en una sucesión de pasos infinitos, cada uno infinitamente pequeño (infinitesimales), sino en un proceso continuo, que puede modelarse matemáticamente con una función real de variable real. De modo que si f(t) expresa la velocidad con la que tragas la leche, su integral...
- ...permitirá calcular la leche que has bebido en un tiempo t'. Por poner un ejemplo, si tomamos como unidad de medida de leche la taza de capacidad L y como unidad de tiempo los minutos, y bebes a una velocidad constante de f(t)=L/3 te habrás terminado la taza en 3 minutos.
- Sí pero...
- De todos modos tienes razón: tú puedes beberte la leche dando infinitos sorbos independientes, cada uno de ellos infinitamente pequeños y tardar de ese modo toda la eternidad, pero te informo de que están a punto de empezar los dibujos de Spiderman.
