¿Qué son los números complejos?

6 demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras

Siempre presentamos el Teorema de Pitágoras y no hablamos de su demostración. Voy a compartir un vídeo donde se presentan seis demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras, espero que os guste.

Constitución y Educación

Constitución y Educación

El día 6 de diciembre es el día de la constitución española de 1.978, la norma suprema del estado y vamos a repasar el artículo 27, dentro del apartado "De los derechos y deberes fundamentales", en el que nos habla de la educación y del derecho a la misma: 

Artículo 27

Hoy ha salido en clase un problema de como apilar naranjas en una frutería, nada más fácil ¿no?

Veamos un poco de historia sobre este asunto, conocido como la conjetura de Kepler. En este enlace, como apilar fruta, os lo explican.

El aula de los horrores

Este horror puede verse con cierta frecuencia en cursos bajos de la E.S.O., pero ha sido detectado en el examen ¡...de un alumno de 2º de Bachillerato!

El aula de los horrores

¡Nooo! ¡Qué pesadilla...!

Generación de curvas cónicas

Según como cortemos con un plano la superficie de un cono obtendremos diferentes curvas en la misma. Veamos:

Todo depende de si el ángulo formado por el plano de corte y el plano de la base es mayor (hipérbola), igual (parábola) o menor (elipse) que el formado por la generatriz y el plano de la base.

El número "e" y el triángulo aritmético

¡Mola...!

Relación entre el cilindro y el cono de igual base y altura

Sencillo y fácil de recordar...

El teorema de Viviani, llamado así en honor del matemático florentino Vincenzo Viviani, enuncia que la suma de las distancias desde un punto a cada uno de los lados de un triángulo equilátero es igual a la altura del triángulo.

Karl Friedrich Gauss

El matemático alemán Karl Friedrich Gauss nació en Brunswick en 1777 y falleció en Gotinga en 1855.

Nació en el seno de una familia humilde y desde muy pequeño dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas. Dicen que a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo.

Un día su maestro J. B. Büttner castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Carl Friedrich Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050 dejando perplejo a su maestro.

Escena en la que su maestro les castiga a sumar los 100 primeros números naturales

Retrato del matemático Karl Friedich Gauss

Srinivasa Ramanujan, contacto directo con los dioses

Veamos el rostro de este excelente matemático de la India

Preguntado un día de dónde le venía su virtud contestó que recibía la información de los dioses

Si quieres saber más sobre este enigmático sabio haz clic en este enlace: Ramanujan

El gran Ramanujan

El matemático indio Ramanujan descubrió la identidad siguiente a principios del s. XX

¿A que es fascinante...?

Celebrando cumpleaños...

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de personas dos cumplan años el mismo día?

Ecuación de la parábola

Repasemos cómo representar gráficamente una función cuadrática

Nature by numbers

Hola, 

   Os quiero enseñar algunos vídeos de Cristóbal Vila relacionados con las Matemáticas, el primero se titula Nature by numbers, explicado en palabras del propio autor:

"La animación arranca presentando una sucesión de números. Una serie muy famosa y reconocida desde hace muchos siglos en el mundo occidental gracias a Leonardo de Pisa, una matemático italiano del siglo XIII, también llamado Fibonacci. Por eso se la conoce como Sucesión de Fibonacci, aunque ya había sido descrita con mucha anterioridad por los matemáticos hindúes."

Disfrutemos del vídeo ...

Si tenéis curiosidad podéis buscar más vídeos de Cristóbal en internet o directamente en su página web Etérea.

Volumen del cilindro inscrito en un cono

Observa como aunque se varíe la altura del cilindro, la proporción de los volúmenes permanece constante

Haz clic aquí

Criterios de calificación para alumnos de Bachillerato

1.- Procedimientos de evaluación.

Para calificar a los alumnos se tendrán en cuenta las pruebas de evaluación realizadas. La actitud en clase y el trabajo podrán suponer un incremento en la calificación final, como máximo, de 1 punto.

1.     Actitud en clase:

Asistencia y puntualidad, atención, participación, interés, esfuerzo, comportamiento, orden, perseverancia, respeto y valoración de las propuestas de los demás, colaboración, etc.

2.     Trabajo:

Trabajo individual dentro y fuera del aula. Se deberá tener el cuaderno ordenado y actualizado con los apuntes de clase, los ejercicios hechos en el aula y tareas encomendadas para casa.

Trabajo en equipo cuando la materia lo requiera (esfuerzo, colaboración, actitud respetuosa hacia el trabajo de los demás componentes del equipo, capacidad crítica, etc.).

Las investigaciones, lecturas y cualquier otro tipo de actividades relacionadas con la materia que le sean requeridas a cada alumno.

Participación en las actividades complementarias organizadas por el departamento.

3.     Pruebas individuales:

Como mínimo se realizarán dos pruebas en cada una de las evaluaciones.

Al final de cada bloque de contenidos o de cada evaluación se podrá realizar una prueba global de contenidos que favorezca una visión de conjunto de los conocimientos del bloque o de la evaluación y que sirva de recuperación para aquellos alumnos que no hubieran superado las pruebas de evaluación.

2.- Criterios de calificación.

EN LAS EVALUACIONES TRIMESTRALES

En la calificación de las pruebas de evaluación se valorarán los siguientes aspectos:

-     Planteamiento correcto del problema o cuestión.

-     Utilización correcta del lenguaje y símbolos matemáticos.

-     Presentación, redacción, ortografía y limpieza en la entrega de trabajos y exámenes.

-     Conocimiento del fundamento teórico relativo al mismo. Se valorará la exposición lógica y la coherencia de las respuestas, tanto en cuestiones teóricas como prácticas. Algunos ejemplos:

(a)     Si al resolver un sistema de ecuaciones el alumno comete un error numérico y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se prestará especial atención, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial.

(b)     En la representación gráfica de funciones se valorará la coherencia del dibujo con los datos obtenidos previamente por el alumno. (Vale aquí la misma excepción que en el párrafo anterior.)

-   Uso adecuado de las reglas del cálculo (prioridad de operaciones, no olvidar los paréntesis cuando sean necesarios,…). Los errores muy graves, que muestren un desconocimiento profundo de propiedades y funciones básicas (errores en la manipulación de igualdades y desigualdades o en operaciones con fracciones, errores graves al desarrollar cuadrados o en la resolución de ecuaciones de segundo grado, etc.), penalizarán especialmente y pueden suponer un 0 en el apartado en el que se hayan cometido.

-   Solución correcta. Si un alumno da una respuesta acertada a un problema escribiendo sólo los resultados, sin el desarrollo lógico de cómo los ha obtenido, dicho problema no puntuará.

Teniendo en cuenta los resultados de las pruebas realizadas, el profesor obtendrá la valoración general del grado de consecución de los objetivos para cada alumno y la calificará con una nota comprendida entre 0 y 10.

Por defecto, para establecer dicha nota, se hará la media aritmética de las calificaciones obtenidas en las pruebas realizadas. Si la media que se va a aplicar es ponderada, el profesor comunicará a los alumnos con tiempo suficiente cuál va a ser la ponderación estableciendo el "peso" de cada prueba de cara a la calificación definitiva.

Para obtener la nota media de las pruebas de evaluación, aritmética o ponderada, la calificación de cada una de las pruebas deberá ser mayor o igual que 3.

Si sucediese que la calificación de una prueba determinada es inferior a 3 y la media de todas las realizadas superior o igual a 5, en aplicación de esta medida el alumno implicado sería calificado en la evaluación con un 4, no pudiendo ser incrementada por actitud y esfuerzo.

EN LA EVALUACIÓN FINAL ORDINARIA

●         Para aprobar la asignatura el alumno deberá obtener una calificación mayor o igual que 5 en las tres evaluaciones. La nota final será la media aritmética de las tres. Dicha nota figurará en la evaluación ordinaria.

●         Los alumnos con una calificación inferior a 5 en las tres evaluaciones estarán provisionalmente suspendidos, a la espera de la prueba global de la que se hablará en los párrafos siguientes.

●         Al alumno que no alcance el 5 en una o en dos evaluaciones, queda a criterio del profesor aprobarle o realizarle pruebas de recuperación alusivas a los contenidos no superados, tras las que el profesor determinará la calificación definitiva.

●         Los alumnos que definitivamente hayan sido calificados negativamente deberán hacer y superar una prueba global de recuperación alusiva a todos los contenidos del curso.

●         Todos los alumnos del mismo nivel académico que, por haber suspendido el curso, deban realizar la prueba global de recuperación, harán idéntico examen, con independencia del grupo al que pertenezcan y del profesor que les haya impartido clase.

●         Voluntariamente, los alumnos que en la calificación definitiva del curso hayan sido aprobados en la materia, podrán presentarse a subir nota al examen global de recuperación previsto en el párrafo anterior.

PRUEBA EXTRAORDINARIA DE JUNIO

Quienes no superen la materia en la evaluación ordinaria deberán examinarse en la convocatoria extraordinaria de los contenidos de todo el curso. 

PRUEBA EXTRAORDINARIA PARA RECUPERAR LA MATERIA EL CURSO PRÓXIMO, SI SE HA SUSPENDIDO EN LA EXTRAORDINARIA DE JUNIO

A quienes promocionen de 1º a 2º, pero no hayan aprobado la materia en la evaluación extraordinaria de junio, les quedará la asignatura pendiente de superación para el curso siguiente. Tendrán la oportunidad de superarla si aprueban un examen que el departamento programa para ser realizado una vez haya comenzado el curso, a principios del mes de octubre.

Criterios de calificación para alumnos de E.S.O.

1.- Procedimientos de evaluación.

Para calificar a los alumnos en cualquier curso de E.S.O. se tendrán en cuenta los siguientes aspectos:

1.      Actitud en clase:

Asistencia y puntualidad, atención, participación, interés, esfuerzo, comportamiento, orden, perseverancia, respeto y valoración de las propuestas de los demás, colaboración, etc.

2.      Trabajo:

Trabajo individual dentro y fuera del aula. Se deberá tener el cuaderno ordenado y actualizado con los apuntes de clase, los ejercicios hechos en el aula y tareas encomendadas para casa.

Trabajo en equipo cuando la materia lo requiera (esfuerzo, colaboración, actitud respetuosa hacia el trabajo de los demás componentes del equipo, capacidad crítica, etc.).

Las investigaciones, lecturas y cualquier otro tipo de actividades relacionadas con la materia que le sean requeridas a cada alumno.

Participación en las actividades complementarias organizadas por el departamento.

3.      Pruebas de evaluación individuales:

Como mínimo se realizarán dos pruebas en cada una de las evaluaciones.

Al final de cada bloque de contenidos o de cada evaluación se podrá realizar una prueba global que favorezca una visión de conjunto de los conocimientos del bloque o de la evaluación y que sirva de recuperación para aquellos alumnos que no hubieran superado las pruebas realizadas.

2.- Criterios de calificación.

SISTEMA DE CALIFICACIÓN EN LAS EVALUACIONES:

En la calificación de las pruebas de evaluación mencionadas en el punto 3 del apartado anterior, se valorarán los siguientes aspectos:

-Planteamiento correcto del problema o cuestión.

-Conocimiento del fundamento teórico relativo al mismo.

-Uso adecuado de las reglas del cálculo.

-Solución correcta.

-Presentación, redacción, ortografía y limpieza en la entrega de trabajos y exámenes

Por defecto, para establecer la calificación definitiva en la evaluación, en lo relativo a la consecución de los objetivos académicos propios de la materia, se hará la media aritmética de las pruebas realizadas. Si la media que se va a aplicar es ponderada, el profesor comunicará a los alumnos con tiempo suficiente cuál será la ponderación estableciendo el "peso" de cada prueba de cara a la calificación definitiva.

Una vez concretada la calificación del alumno, consecuente del apartado 3, de cara a la nota global definitiva de la evaluación dicha calificación tendrá un peso, en 1º y 2º de la E.S.O. del 80% y en 3º y 4º de la E.S.O. del 85%.

El 20% y 15% restantes, respectivamente, se obtendrán de la valoración que el profesor realice de los aspectos contemplados en los puntos 1 y 2 del apartado anterior. 

Para obtener la nota media de las pruebas de evaluación, aritmética o ponderada, la calificación de cada una de las pruebas deberá ser mayor o igual que 3 (en una calificación de 0 a 10).

Si sucediese que la calificación de una prueba determinada es inferior a 3 y la media de todas las realizadas superior o igual a 5, en aplicación de esta medida el alumno implicado sería calificado en la evaluación con un 4, no pudiendo ser incrementada esta calificación en virtud de las valoraciones aplicadas por los puntos 1 y 2 del apartado anterior.

EN LA EVALUACIÓN FINAL:

●         Para aprobar la asignatura el alumno deberá obtener una calificación mayor o igual que 5 en las tres evaluaciones. La nota final será la media aritmética de las tres. Dicha nota figurará en la evaluación ordinaria.

●         Los alumnos con una calificación inferior a 5 en las tres evaluaciones estarán suspendidos y tendrán que presentarse a la evaluación extraordinaria.

●         Al alumno que no alcance el 5 en una o en dos evaluaciones, según sus calificaciones y media aritmética, queda a criterio del profesor aprobarle en la evaluación ordinaria o dejarle pendiente para la extraordinaria.

●         Todos los alumnos del mismo nivel académico que hayan suspendido el curso en la evaluación ordinaria, deberán realizar en la extraordinaria una prueba global en la que entren todos los contenidos del curso. Harán idéntico examen, con independencia del grupo al que pertenezcan y del profesor que les haya impartido clase.

INFORMACIÓN PARA ALUMNOS Y PADRES

AUSENCIA DE UN ALUMNO A UN EXAMEN O PRUEBA DE EVALUACIÓN

Para el departamento de Matemáticas, la realización de un examen por parte de los alumnos es un acto inexcusable, que participa de forma decisiva en la toma de decisiones de los profesores en lo relativo a su evaluación y desarrollo académico en la materia. En consecuencia, ha de ser tomado por los alumnos con la necesaria seriedad, importancia y falta de frivolidad. A fin de garantizar la igualdad de oportunidades, es imprescindible que todos los alumnos a los que va dirigido el examen, lo realicen a la misma hora, con los mismos tiempos límite y en las mismas condiciones de dificultad. Tan solo aquellos alumnos con necesidades educativas especiales, debidamente justificadas, tendrán un tratamiento específico, acorde con su situación. En consecuencia, el alumno que, por estar ausente, no realice un examen o prueba de evaluación programada previamente, será calificado con un cero en la misma. La simple nota escrita de su padre, madre o tutor legal, como justificante de la falta, podrá no ser tenida en consideración. Deberá presentar un justificante oficial, que dé todas las garantías, en el que sin lugar a dudas se ponga de manifiesto de forma inequívoca la imposibilidad del alumno de realizar el examen a la hora a la que estaba programado. En este caso, la calificación de cero quedará cancelada. El profesor no estará obligado, en ningún caso, a realizarle un examen alternativo. No obstante, le informará si ha de realizar algún trabajo o prueba de evaluación especial para ser calificado y en todo caso cuál va a ser el procedimiento de evaluación sustitutorio del examen no realizado.

Einstein, los ríos y el número pi

PAPÁ, NO PUEDO BEBERME LA LECHE

Hace unos días desayunábamos juntos mi hijo y yo, cada uno concentrado en su tazón. Aún no estábamos despiertos del todo, o eso pensaba yo hasta que afirmó con total rotundidad:

• Papá, he llegado a la conclusión de que no puedo beberme toda la leche.

Vaya, debí verlo venir. Tomando aire, irguiéndome en la silla y mirándolo con toda mi atención traté de encauzar la situación:

• ¿Te refieres a que no quieres beber más leche, a que estás lleno y no puedes más?
• No, me refiero a que es físicamente imposible que llegue a completar el proceso de ingestión de la leche contenida en la taza, llamémosla 'L', ya que para ello primero tendría que beberme la mitad de L (L/2), luego la mitad de lo que quedara (L/4), a continuación la mitad del resto (L/8) y así sucesivamente en un proceso infinito para una cantidad infinita de leche, que por definición no tiene fin. O expresado de otro modo:

L/2 + L/4 + L/8 + L/16 + … = ¡Leche sin fin!

Vaya con el niño. No esperaba tener que abordar esta conversación con él tan pronto, pero no había más remedio:

• Hijo, es cierto que el proceso que mencionas consiste en la agregación de una cantidad infinita de cantidades, pero no es cierto que dicha suma produzca un resultado infinito. Fíjate que cada término de la suma es igual al anterior multiplicado por ½ , lo que se conoce como progresión geométrica de razón ½ . Aplicando tan solo un poco de álgebra podemos comprobar que el resultado de una suma de tales características toma un valor igual al primer término de la progresión dividido por uno menos la razón. Aplicando dicho resultado al caso que nos ocupa tenemos que:

• Es decir, que la suma de las infinitas cantidades da como resultado la cantidad de leche contenida inicialmente en la taza, como era de esperar. ¿Te convences ahora de que sí puedes beberte toda la leche?

Con expresión dubitativa, guardó silencio durante unos segundos. Parecía que iba a asumir finalmente que era posible beberse toda la leche, pero yo sabía del error que contenía mi argumentación. Mis temores se confirmaron:

• ¡Eh, un momento! Aunque la cantidad de leche no sea infinita, sí lo es el número de pasos necesarios para bebérmela. ¡Para acabármela necesitaría toda la eternidad!

Por suerte, estaba preparado:

• Ya, pero es que no has modelado el proceso con la herramienta correcta. Por lo general, beber leche no consiste en una sucesión de pasos infinitos, cada uno infinitamente pequeño (infinitesimales), sino en un proceso continuo, que puede modelarse matemáticamente con una función real de variable real. De modo que si f(t) expresa la velocidad con la que tragas la leche, su integral... 

• ...permitirá calcular la leche que has bebido en un tiempo t'. Por poner un ejemplo, si tomamos como unidad de medida de leche la taza de capacidad L y como unidad de tiempo los minutos, y bebes a una velocidad constante de f(t)=L/3 te habrás terminado la taza en 3 minutos.
• Sí pero...
• De todos modos tienes razón: tú puedes beberte la leche dando infinitos sorbos independientes, cada uno de ellos infinitamente pequeños y tardar de ese modo toda la eternidad, pero te informo de que están a punto de empezar los dibujos de Spiderman.

Y este último argumento sí que resultó definitivo. En un tiempo infinitesimal mi hijo se terminó la leche y se fue al salón a encender la tele.